関数 $y = x(\log x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x(\log x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を使う。

積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$。

合成関数の微分法は $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$。

まず、$u = x$, $v = (\log x)^2$ とおく。

すると、$u' = 1$。

$v = (\log x)^2$ に対して、合成関数の微分法を適用する。

$f(x) = x^2$, $g(x) = \log x$ とおくと、$v = f(g(x))$。

$f'(x) = 2x$, $g'(x) = \frac{1}{x}$。

よって、$v' = f'(g(x))g'(x) = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\log x}{x}$。

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot \frac{2\log x}{x} = (\log x)^2 + 2\log x$。

3. 最終的な答え

$(\log x)^2 + 2\log x$