関数 $y = \log(1+\frac{1}{x})$ （ただし、$x > 0$）を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(1+\frac{1}{x})$ （ただし、$x > 0$）を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$を次のように変形します。

$y = \log(1+\frac{1}{x}) = \log(\frac{x+1}{x})$

次に、対数の性質 $\log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)$ を使って、$y$をさらに変形します。

$y = \log(x+1) - \log(x)$

ここで、合成関数の微分法を用います。$\log(u)$ の微分は $\frac{1}{u}$ になることを利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\log(x+1) - \log(x)]$

$\frac{d}{dx} \log(x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx} (x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot 1 = \frac{1}{x+1}$

$\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$

通分して計算すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x - x - 1}{x(x+1)} = \frac{-1}{x(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(x+1)}$