関数 $y = 2x^3 - 3x^2$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を求め、グラフの概形を描く。

はい、承知いたしました。それでは、問題の(1) $y = 2x^3 - 3x^2$ について、増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^3 - 3x^2$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 一階微分を計算し、増減を調べます。

$y' = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)$

$y' = 0$ となる $x$ は、$x = 0, 1$ です。

$x < 0$ では $y' > 0$ (増加)、$0 < x < 1$ では $y' < 0$ (減少)、$x > 1$ では $y' > 0$ (増加) となります。

(2) 極値を求めます。

$x = 0$ で極大値 $y = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0$

$x = 1$ で極小値 $y = 2(1)^3 - 3(1)^2 = -1$

(3) 二階微分を計算し、凹凸を調べます。

$y'' = 12x - 6$

$y'' = 0$ となる $x$ は、$x = \frac{1}{2}$ です。

$x < \frac{1}{2}$ では $y'' < 0$ (上に凸)、$x > \frac{1}{2}$ では $y'' > 0$ (下に凸) となります。

(4) 変曲点を求めます。

$x = \frac{1}{2}$ で、$y = 2(\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$

変曲点は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ です。

(5) グラフの概形を描きます。

増減表は以下の通りです。

| x | ... | 0 | ... | 1/2 | ... | 1 | ... |

| :---- | :---- | :-- | :---- | :--- | :---- | :-- | :---- |

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | 0 | + | + | + |

| y | ↑ | 0 | ↓ | -1/2 | ↓ | -1 | ↑ |

| | | 極大 | | 変曲点| | 極小 | |

3. 最終的な答え

- 極大値: $x=0$ で $y=0$

- 極小値: $x=1$ で $y=-1$

- 変曲点: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

- $x < 0$ で増加, $0 < x < 1$ で減少, $x > 1$ で増加

- $x < \frac{1}{2}$ で上に凸, $x > \frac{1}{2}$ で下に凸