式(9) $2i\omega x = \frac{A}{2i} \{ t(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}) - \frac{1}{2i\omega}(e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}) \}$ から式(3.5) $x = - \frac{A}{2\omega}t \cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}\sin(\omega t)$ を導出すること。

1. 問題の内容

式(9) $2i\omega x = \frac{A}{2i} \{ t(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}) - \frac{1}{2i\omega}(e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}) \}$ から式(3.5) $x = - \frac{A}{2\omega}t \cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}\sin(\omega t)$ を導出すること。

2. 解き方の手順

まず、オイラーの公式を用いて、指数関数を三角関数に変換します。

オイラーの公式は以下の通りです。

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

この公式を使うと、

$e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} = (\cos(\omega t) + i\sin(\omega t)) + (\cos(-\omega t) + i\sin(-\omega t)) = 2\cos(\omega t)$

$e^{i\omega t} - e^{-i\omega t} = (\cos(\omega t) + i\sin(\omega t)) - (\cos(-\omega t) + i\sin(-\omega t)) = 2i\sin(\omega t)$

これらの結果を式(9)に代入します。

$2i\omega x = \frac{A}{2i} \{ t(2\cos(\omega t)) - \frac{1}{2i\omega}(2i\sin(\omega t)) \}$

$2i\omega x = \frac{A}{2i} \{ 2t\cos(\omega t) - \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \}$

両辺に$\frac{1}{2i\omega}$をかけます。

$x = \frac{A}{(2i)^2\omega} \{ 2t\cos(\omega t) - \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \}$

$x = \frac{A}{-4\omega^2} \{ 2t\cos(\omega t) - \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \}$

$x = \frac{A}{-4\omega^2} 2t\cos(\omega t) - \frac{A}{-4\omega^2} \frac{\sin(\omega t)}{\omega}$

$x = - \frac{A}{2\omega}t \cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}\sin(\omega t)$

3. 最終的な答え

$x = - \frac{A}{2\omega}t \cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}\sin(\omega t)$