$\int_{0}^{1} e^{3x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} e^{3x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

指数関数の積分を行います。

$e^{ax}$ の積分は $\frac{1}{a} e^{ax} + C$ です。ここで、$C$は積分定数です。

したがって、

$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C$

定積分を計算するために、積分範囲の上端と下端の値を代入して、差を求めます。

$\int_{0}^{1} e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]_{0}^{1}$

$\frac{1}{3} e^{3(1)} - \frac{1}{3} e^{3(0)} = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} e^0$

$e^0 = 1$ であるから、

$\frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} (1) = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} = \frac{e^3 - 1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^3 - 1}{3}$