定積分 $\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分割します。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) dx = \int_{0}^{1} e^{2x} dx - \int_{0}^{1} e^{-x} dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \Big|_0^1 = \frac{1}{2} (e^2 - e^0) = \frac{1}{2} (e^2 - 1)$

$\int_{0}^{1} e^{-x} dx = -e^{-x} \Big|_0^1 = - (e^{-1} - e^0) = - (e^{-1} - 1) = 1 - e^{-1}$

最後に、これらの結果を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) dx = \frac{1}{2} (e^2 - 1) - (1 - e^{-1}) = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} - 1 + e^{-1} = \frac{1}{2} e^2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{e}$