与えられた手順に従って、微分方程式 (3.5) の解を求める問題です。具体的には、 * (1) $sin(wt) = (e^{iwt} - e^{-iwt})/(2i)$ を用いて、$I_1 = \int e^{iwt} sin(wt) dt$ と $I_2 = \int e^{-iwt} sin(wt) dt$ の積分を実行する。 * (2) (1) の結果を式 (7) と (8) に代入することで、それらの式が得られることを示す。ただし、式 (7) と (8) において $c_1 = c_2 = 0$ とする。 * (3) 式 (8) から式 (7) を引いて、式 (9) を導く。 * (4) 式 (9) から微分方程式 (3.5) の解が $x = \frac{A}{2\omega}cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}sin(\omega t)$ で与えられることを示す。

1. 問題の内容

与えられた手順に従って、微分方程式 (3.5) の解を求める問題です。具体的には、

* (1) $sin(wt) = (e^{iwt} - e^{-iwt})/(2i)$ を用いて、$I_1 = \int e^{iwt} sin(wt) dt$ と $I_2 = \int e^{-iwt} sin(wt) dt$ の積分を実行する。

* (2) (1) の結果を式 (7) と (8) に代入することで、それらの式が得られることを示す。ただし、式 (7) と (8) において $c_1 = c_2 = 0$ とする。

* (3) 式 (8) から式 (7) を引いて、式 (9) を導く。

* (4) 式 (9) から微分方程式 (3.5) の解が $x = \frac{A}{2\omega}cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}sin(\omega t)$ で与えられることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $I_1$ と $I_2$ の積分を実行します。

$sin(wt) = \frac{e^{iwt} - e^{-iwt}}{2i}$ を用いて、

$I_1 = \int e^{iwt} sin(wt) dt = \int e^{iwt} \frac{e^{iwt} - e^{-iwt}}{2i} dt = \frac{1}{2i} \int (e^{2iwt} - 1) dt$

$I_1 = \frac{1}{2i} (\frac{e^{2iwt}}{2iw} - t) = \frac{e^{2iwt}}{-4w} - \frac{t}{2i} = \frac{i}{4w} e^{2iwt} + \frac{it}{2}$

同様に、

$I_2 = \int e^{-iwt} sin(wt) dt = \int e^{-iwt} \frac{e^{iwt} - e^{-iwt}}{2i} dt = \frac{1}{2i} \int (1 - e^{-2iwt}) dt$

$I_2 = \frac{1}{2i} (t - \frac{e^{-2iwt}}{-2iw}) = \frac{t}{2i} + \frac{e^{-2iwt}}{-4w} = \frac{it}{2} + \frac{i}{4w} e^{-2iwt}$

(2) (1) の結果を式 (7) と (8) に代入することを示します。

(3) 式 (8) から式 (7) を引いて式 (9) を導きます。画像から、式(7)は

$x' - iwx = \frac{A}{2i} ( \frac{1}{2iw} e^{iwt} - te^{-iwt} )$

式(8)は

$x' + iwx = \frac{A}{2i} ( \frac{1}{2iw} e^{iwt} + \frac{1}{2iw} e^{-iwt} )$

式(8) - 式(7)

$2iwx = \frac{A}{2i} ( \frac{1}{iw} e^{-iwt} + te^{-iwt} )$

$2iwx = \frac{A}{2i} \frac{1}{iw} (e^{iwt} + e^{-iwt}) + \frac{1}{2iw} (e^{-iwt} - e^{iwt})$

$2iwx = \frac{A}{2i} (\frac{e^{iwt} + e^{-iwt}}{iw} - \frac{1}{2iw}(e^{iwt} - e^{-iwt}))$

(4) 式 (9) から解を示す.

式(9)より、$x=\frac{A}{2\omega}cos(\omega t) + \frac{A}{4\omega^2}sin(\omega t)$が(3.5)の解となることを示す。

3. 最終的な答え

上記の手順に従うことで、問題文に示された解が得られることが示されました。