与えられた微分方程式を解き、$y$ を $x$ の関数として求めます。初期条件が与えられている場合は、それを満たす解を求めます。

承知いたしました。画像にある微分方程式の問題をいくつか解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解き、$y$ を $x$ の関数として求めます。初期条件が与えられている場合は、それを満たす解を求めます。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

(1) $\frac{dy}{dx} = x^2$

変数を分離する必要はありません。両辺を $x$ で積分します。

$\int \frac{dy}{dx} dx = \int x^2 dx$

$y = \frac{1}{3}x^3 + C$

初期条件が与えられていないので、これが一般解です。

(3) $\frac{dy}{dx} = -2y$

変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -2 dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -2 dx$

$\ln|y| = -2x + C$

$y = e^{-2x + C} = e^C e^{-2x} = A e^{-2x}$

ここで、$A = e^C$ は任意の定数です。

(7) $2\frac{dy}{dx} + y = 2$, $y(0) = 1$

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}y = 1$

これは線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{2} dx} = e^{\frac{1}{2}x}$

両辺に積分因子をかけます。

$e^{\frac{1}{2}x} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x} y = e^{\frac{1}{2}x}$

$\frac{d}{dx}(e^{\frac{1}{2}x} y) = e^{\frac{1}{2}x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{\frac{1}{2}x} y) dx = \int e^{\frac{1}{2}x} dx$

$e^{\frac{1}{2}x} y = 2e^{\frac{1}{2}x} + C$

$y = 2 + Ce^{-\frac{1}{2}x}$

初期条件 $y(0) = 1$ を適用します。

$1 = 2 + Ce^0$

$1 = 2 + C$

$C = -1$

したがって、$y = 2 - e^{-\frac{1}{2}x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{3}x^3 + C$

(3) $y = Ae^{-2x}$

(7) $y = 2 - e^{-\frac{1}{2}x}$