(4) $(1-x^2) \frac{dy}{dx} = -xy$ (5) $x \frac{dy}{dx} = y + x^4$

はい、承知いたしました。微分方程式の問題ですね。2つの微分方程式を解きます。

1. 問題の内容

(4) $(1-x^2) \frac{dy}{dx} = -xy$

(5) $x \frac{dy}{dx} = y + x^4$

2. 解き方の手順

(4) $(1-x^2) \frac{dy}{dx} = -xy$

まず、変数分離を行います。

$\frac{dy}{y} = -\frac{x}{1-x^2} dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{x}{1-x^2} dx$

左辺は $\ln |y|$ となります。

右辺は、 $u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ なので、$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| = \frac{1}{2} \ln |1-x^2|$ となります。

よって、

$\ln |y| = \frac{1}{2} \ln |1-x^2| + C_1$

$e^{\ln |y|} = e^{\frac{1}{2} \ln |1-x^2| + C_1} = e^{\frac{1}{2} \ln |1-x^2|}e^{C_1}$

$|y| = e^{C_1} |1-x^2|^{\frac{1}{2}}$

$y = C \sqrt{|1-x^2|}$

(5) $x \frac{dy}{dx} = y + x^4$

まず、線形微分方程式の形にします。

$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^3$

積分因子を求めます。

$\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = e^{\ln x^{-1}} = \frac{1}{x}$

両辺に積分因子をかけます。

$\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = x^2$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) = x^2$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}y) dx = \int x^2 dx$

$\frac{1}{x}y = \frac{1}{3}x^3 + C$

$y = \frac{1}{3}x^4 + Cx$

3. 最終的な答え

(4) $y = C \sqrt{|1-x^2|}$

(5) $y = \frac{1}{3}x^4 + Cx$