$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解け。 (1) $\sin 2\theta = \cos \theta$ (2) $\cos 2\theta - 3\cos \theta + 2 \geq 0$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解け。

(1) $\sin 2\theta = \cos \theta$

(2) $\cos 2\theta - 3\cos \theta + 2 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2\theta = \cos \theta$

倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用いて、

$2\sin \theta \cos \theta = \cos \theta$

$\cos \theta (2\sin \theta - 1) = 0$

$\cos \theta = 0$ または $2\sin \theta - 1 = 0$, つまり $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $\cos 2\theta - 3\cos \theta + 2 \geq 0$

倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用いて、

$2\cos^2 \theta - 1 - 3\cos \theta + 2 \geq 0$

$2\cos^2 \theta - 3\cos \theta + 1 \geq 0$

$(2\cos \theta - 1)(\cos \theta - 1) \geq 0$

$\cos \theta \leq \frac{1}{2}$ または $\cos \theta \geq 1$

$\cos \theta \geq 1$ となるのは $\cos \theta = 1$ のときのみなので、$\theta = 0$

$\cos \theta \leq \frac{1}{2}$ となるのは、$\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{3}$

したがって、$\theta = 0$ または $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $\theta = 0, \frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{3}$