## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた画像に含まれる数学の問題を解きます。具体的には、指数関数や対数関数のグラフの選択、交点の座標の計算、関数の特徴を表す説明の選択などを行います。

## 解き方の手順

いくつかの問題があるので、それぞれ分けて説明します。

###

1. 指数関数 $y = 2^x$ のグラフの選択

指数関数 $y = 2^x$ は、$x$ が増加すると $y$ も増加する関数です。また、$x$ が負の方向に大きくなるにつれて、$y$ は $0$ に近づきます。このグラフは $x$ 軸に漸近し、$y$ 軸との交点は $(0, 1)$ です。これらの特徴を持つグラフは「イ」のグラフです。

したがって、正解は

5. イ です。

###

2. 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の特徴を表す説明の選択

対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は、底が $0 < a < 1$ の場合、減少関数になります。つまり、$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は小さくなります。また、$x$ が $0$ に近づくと、$y$ は負の方向に無限に小さくなります。言い換えると、$x \to +0$ で $y \to -\infty$ となり、$y$軸に漸近します。

したがって、正解は

1. グラフは $y$ の値がどんどん小さくなる ($y \to -\infty$) と、$y$ 軸に漸近する。です。

###

3. 指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフの選択

指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ は、底が $0 < a < 1$ の場合、減少関数になります。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少します。また、$x$ が正の方向に大きくなるにつれて、$y$ は $0$ に近づきます。そして、$x$ が負の方向に大きくなるにつれて、$y$ は正の方向に無限に大きくなります。このグラフは $x$ 軸に漸近し、$y$ 軸との交点は $(0, 1)$ です。これらの特徴を持つグラフは「オ」のグラフです。

したがって、正解は

5. オ です。

###

4. 対数関数 $y = \log_2 x$ および $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフの交点の座標の計算

$y = \log_2 x$ と $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の交点を求めるには、これらの関数が等しくなる $x$ を見つける必要があります。

$\log_2 x = \log_{\frac{1}{2}} x$

対数の底の変換公式を使うと、

$\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 x}{-1} = -\log_2 x$

したがって、

$\log_2 x = -\log_2 x$

$2 \log_2 x = 0$

$\log_2 x = 0$

$x = 2^0 = 1$

$x=1$ のとき、$y = \log_2 1 = 0$

よって、交点の座標は $(1, 0)$ です。

したがって、正解は

2. (1, 0) です。

###

5. 指数関数 $y = 2^x$ の特徴を表す説明の選択

指数関数 $y = 2^x$ は、$x$ が増加すると $y$ も増加する関数です。また、$x$ が負の方向に大きくなるにつれて、$y$ は $0$ に近づきます。言い換えると、$x \to +\infty$ で $y \to +\infty$ となり、$x$ 軸に漸近します。

したがって、正解は

5. グラフは $x$ の値がどんどん大きくなる ($x \to +\infty$) と、$y$ 軸に漸近する。です。

###

6. 指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ の特徴を表す説明の選択

指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ は、$x$ が増加すると $y$ は減少する関数です。また、$x$ が正の方向に大きくなるにつれて、$y$ は $0$ に近づきます。言い換えると、$x \to +\infty$ で $y \to 0$ となり、$x$ 軸に漸近します。

したがって、正解は

3. グラフは $x$ の値がどんどん小さくなる ($x \to -\infty$) と、$x$軸に漸近する。です。

## 最終的な答え

1. 指数関数 $y = 2^x$ のグラフ:

5. イ

2. 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の特徴: 1

3. 指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフ:

5. オ

4. 対数関数 $y = \log_2 x$ と $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の交点:

2. (1, 0)

5. 指数関数 $y = 2^x$ の特徴: 5

6. 指数関数 $y = (\frac{1}{2})^x$ の特徴: 3