(1) 関数 $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ について、以下の問題を解きます。 (a) 勾配ベクトル $\nabla f(1, 0, 1)$ を求めます。 (b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。 (c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大になる方向の単位ベクトル $l$ と、その方向微分係数を求めます。 (2) 関数 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$x$ 軸との角度が $\phi$ である方向 $l$ の方向微分係数を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ について、以下の問題を解きます。

(a) 勾配ベクトル $\nabla f(1, 0, 1)$ を求めます。

(b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大になる方向の単位ベクトル $l$ と、その方向微分係数を求めます。

(2) 関数 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$x$ 軸との角度が $\phi$ である方向 $l$ の方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

(a) 勾配ベクトル $\nabla f$ は、各変数に関する偏導関数を成分とするベクトルです。

$f_x = 2x + 3y$, $f_y = 3x + 4y$, $f_z = 2z$

したがって、$\nabla f(x, y, z) = (2x + 3y, 3x + 4y, 2z)$

点 $(1, 0, 1)$ における勾配ベクトルは、$\nabla f(1, 0, 1) = (2(1) + 3(0), 3(1) + 4(0), 2(1)) = (2, 3, 2)$

(b) 方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ は、勾配ベクトルと方向ベクトルの単位ベクトルの内積で計算できます。

方向ベクトル $(1, 2, 3)$ の単位ベクトルは、$\frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}}$

したがって、$\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \nabla f(1, 0, 1) \cdot \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}} = (2, 3, 2) \cdot \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}} = \frac{2(1) + 3(2) + 2(3)}{\sqrt{14}} = \frac{2 + 6 + 6}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$

(c) 方向微分が最大になる方向は、勾配ベクトルの方向です。したがって、求める単位ベクトル $l$ は、$\frac{\nabla f(1, 0, 1)}{|\nabla f(1, 0, 1)|} = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{4 + 9 + 4}} = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{17}}$

この方向における方向微分係数は、勾配ベクトルの大きさ $|\nabla f(1, 0, 1)| = \sqrt{17}$

(2)

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、

$r_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, $r_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

したがって、$\nabla r = (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$

$x$ 軸との角度が $\phi$ である方向 $l$ の単位ベクトルは $(\cos \phi, \sin \phi)$。

したがって、方向微分係数は、$\nabla r \cdot (\cos \phi, \sin \phi) = \frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

3. 最終的な答え

(1)

(a) $\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \sqrt{14}$

(c) 単位ベクトル $l = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{17}}$, 方向微分係数 $\sqrt{17}$

(2) $\frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{\sqrt{x^2 + y^2}}$