$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin^{-1}x)^2}{x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin^{-1}x)^2}{x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いることを考えます。

$x \to 0$ のとき、$(\sin^{-1}x)^2 \to 0$ かつ $x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

したがって、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin^{-1}x)^2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)^2}{\frac{d}{dx}x}$

ここで、$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)^2 = 2\sin^{-1}x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、$\frac{d}{dx}x = 1$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$

$x \to 0$ のとき、$\sin^{-1}x \to 0$ かつ $\sqrt{1-x^2} \to 1$ なので、$\frac{0}{1}=0$ となります。

3. 最終的な答え

0