不定積分 $\int \frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} dx$ を求め、与えられた形式 $\frac{3}{2} \log |アx + イ| - 2\log |x + ウ| + C$ に当てはまるア、イ、ウを求める。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} dx$ を求め、与えられた形式 $\frac{3}{2} \log |アx + イ| - 2\log |x + ウ| + C$ に当てはまるア、イ、ウを求める。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を因数分解する。

$2x^2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2)$

次に、被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{-x}{(2x + 3)(x + 2)} = \frac{A}{2x + 3} + \frac{B}{x + 2}$

両辺に $(2x + 3)(x + 2)$ を掛けると、

$-x = A(x + 2) + B(2x + 3)$

$-x = (A + 2B)x + (2A + 3B)$

係数比較を行うと、

$A + 2B = -1$

$2A + 3B = 0$

この連立方程式を解く。

第1式を2倍して第2式から引くと、

$(2A + 3B) - 2(A + 2B) = 0 - 2(-1)$

$-B = 2$

$B = -2$

これを第1式に代入すると、

$A + 2(-2) = -1$

$A - 4 = -1$

$A = 3$

したがって、

$\frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} = \frac{3}{2x + 3} - \frac{2}{x + 2}$

与えられた不定積分は、

$\int \frac{-x}{2x^2 + 7x + 6} dx = \int \left(\frac{3}{2x + 3} - \frac{2}{x + 2}\right) dx$

$= 3 \int \frac{1}{2x + 3} dx - 2 \int \frac{1}{x + 2} dx$

$= \frac{3}{2} \log |2x + 3| - 2 \log |x + 2| + C$

したがって、ア = 2、イ = 3、ウ = 2。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 2