関数 $y = x \cos(2x)$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos(2x)$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分法則を使う。積の微分法則とは、$y = u(x)v(x)$ のとき、$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$である。

この問題では、$u(x) = x$、$v(x) = \cos(2x)$ と置く。

まず、$u(x)$ の微分を計算する。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v(x)$ の微分を計算する。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x))$

ここで合成関数の微分を使う。$\cos(ax)$ の微分は $-a\sin(ax)$ である。

$v'(x) = -2\sin(2x)$

積の微分法則の公式に当てはめると、

$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$y' = 1 \cdot \cos(2x) + x \cdot (-2\sin(2x))$

$y' = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$

3. 最終的な答え

$\cos(2x) - 2x\sin(2x)$