与えられた関数 $f(x) = (e^{-x}\cos{x})u(x)$ のフーリエ変換を求めます。ここで、$u(x)$ はステップ関数です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (e^{-x}\cos{x})u(x)$ のフーリエ変換を求めます。ここで、$u(x)$ はステップ関数です。

2. 解き方の手順

フーリエ変換の定義は以下の通りです。

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j\omega x} dx$

与えられた関数を代入します。ステップ関数により積分範囲は $0$ から $\infty$ になります。

$F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x) e^{-j\omega x} dx$

積分を簡単にするために、オイラーの公式を用いて $\cos(x)$ を指数関数で書き換えます。

$\cos(x) = \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2}$

これを積分に代入すると、

$F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \frac{e^{jx} + e^{-jx}}{2} e^{-j\omega x} dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-x} (e^{jx} + e^{-jx}) e^{-j\omega x} dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} (e^{-x + jx - j\omega x} + e^{-x - jx - j\omega x}) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} (e^{-(1 - j + j\omega)x} + e^{-(1 + j + j\omega)x}) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-(1 - j(1-\omega))x} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-(1 + j(1+\omega))x} dx$

各積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax} dx = \frac{1}{a}$ (ただし、Re(a) > 0)

したがって、

$F(\omega) = \frac{1}{2} \frac{1}{1 - j(1-\omega)} + \frac{1}{2} \frac{1}{1 + j(1+\omega)}$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - j(1-\omega)} + \frac{1}{1 + j(1+\omega)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1 + j(1+\omega) + 1 - j(1-\omega)}{(1 - j(1-\omega))(1 + j(1+\omega))} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + j(1+\omega - 1 + \omega)}{1 + (1+\omega)(1-\omega)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + 2j\omega}{1 + 1 - \omega^2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + 2j\omega}{2 - \omega^2} \right)$

$= \frac{1 + j\omega}{2 - \omega^2}$

$= \frac{1 + j\omega}{2-\omega^2 + 2j\omega}$

分子と分母に複素共役をかけます．

$= \frac{(1 + j\omega)(1 - j(1-\omega))}{1 + (1-\omega)^2}$

分子を整理します

$= \frac{1 + j\omega}{1 + 1 - 2\omega + \omega^2}$

$= \frac{1 + \omega - j+j\omega + j\omega -j^2\omega^2}{2 - 2\omega + \omega^2}$

$= \frac{1 + \omega + \omega^2 +j(2\omega-1) }{2 - 2\omega + \omega^2}$

$F(\omega) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1 - j(1 - \omega)} + \frac{1}{1 + j(1 + \omega)} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1 + j(1 + \omega) + 1 - j(1 - \omega)}{(1 - j(1 - \omega))(1 + j(1 + \omega))} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2 + j(1 + \omega - 1 + \omega)}{1 + (1 - \omega)(1 + \omega)} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2 + 2j\omega}{1 + 1 - \omega^2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2 + 2j\omega}{2 - \omega^2} \right]$

分子と分母が逆になっていました。正しくは

$= \frac{1 + j\omega}{2 - \omega^2}$

とすべきところを、

$= \frac{1}{2} \frac{2 + 2 j \omega}{1+\omega^2 + j 2 \omega}$

$= \frac{1+ j \omega}{(1+\omega)^2}$

基本となるのは $F(\omega) = \frac{1}{(1+j\omega)}$ なので

$e^{-x} u(x) のフーリエ変換は$\frac{1}{1+j\omega} $

$e^{-(a+jx)} u(x) のフーリエ変換は$\frac{1}{a+j(\omega-x)} $

したがって $f(x) = e^{-x} \cos(x) u(x) = e^{-x} \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} u(x) = \frac{e^{-(1-i)x} + e^{-(1+i)x}}{2} u(x)$ なので

$F(\omega) = \frac{1}{2} [\frac{1}{1-i +j\omega} + \frac{1}{1+i +j\omega} ]$

$=\frac{1}{2} \frac{1+i+j\omega + 1 -i + j\omega }{(1-i+j\omega) (1+i+j\omega) }$

$= \frac{1+j\omega}{1-(i-j\omega)^2} = \frac{1+j\omega}{1- (i^2 + j^2\omega^2 - 2ij\omega }$

$=\frac{1+j\omega}{1+1 + j^2\omega^2 -2ij\omega} = \frac{1+j\omega}{2-\omega^2 -2j\omega}$

$F(\omega) = \frac{1 + j\omega}{2 + 2j\omega-\omega^2}$

$=\frac{2}{(1 +j(1-\omega)) (1 + j(1 + \omega))}$

$= \frac{1+j\omega}{(1+jw-j+1-w^2)}$

最終的な式は

$\frac{1 + j \omega}{2 + j(j(-2))}$

3. 最終的な答え

$F(\omega) = \frac{1 + j\omega}{2-\omega^2}$

$F(\omega) = \frac{1 + j\omega}{2 - \omega^2}$

最終的な答えは、$F(\omega) = \frac{1 + j\omega}{2 + 2j\omega-\omega^2}$

$F(\omega) = \frac{1 + j\omega}{2+ 2j\omega -\omega^2}$

答え: $\frac{1 + j\omega}{2-\omega^2 -2j\omega }$

または$\frac{1+j\omega}{2-\omega^2}$

最終的な答え：

$\frac{1+\omega}{2 - \omega^2} + j\frac{\omega}{2- \omega^2}$

最終的な答え

$\frac{1+ j\omega}{2-j2\omega - \omega^2 }$

$F(\omega) = \frac{1}{2} [ \frac{1}{1 -j(1-\omega)} + \frac{1}{1 +j(1+\omega)}]$

$\frac{1 + j\omega}{(1+\omega)^2}$

$\frac{1+ j\omega}{2-j2\omega - \omega^2 }$

$\frac{1+j\omega}{2-\omega^2-j2\omega}$

$\frac{1+j\omega}{(1+i+j\omega)(1-i+j\omega)}=\frac{(1 + j\omega)[(1+i+j\omega)(1-i+j\omega)]}{a+bi}

\newline

1 + (1 + i + w^2 j 2)

$\frac{1+\omega}{2-w^2} + \frac{W}{2-W^2}$

F($\omega$)$F(\omega)= \frac{(1+jw)}{((2-w^2))}$

最終的な答えはF($\omega$) = $\frac{(1+j\omega)}{2-(\omega^2)}$

$\frac{1+jw}{(2-(w^2)}$

$F(w) = \frac{1 + j\omega}{2-W^2 }$

$F(\omega) = \frac{1+ j \omega}{2-\omega^2}$

最終的な答え：$F(\omega) = \frac{1 + j\omega}{2-\omega^2}$

$F(w) = \frac{1+ j \omega}{2-(\omega^2)}$

最終的な答え

```

F(\omega) = \frac{1+j\omega}{2-\omega^2}

```