関数 $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(0)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求めます。 (2) $f'(x)$ を求めます。 (3) $f(x)$ のグラフの概形を描きます。 (4) 広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ の値を求めます。ただし、ベータ関数 $B(p, q) = \int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}} dx$ をヒントとして用います。 (5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{(n+1)^2}$ が収束することを示します。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(0)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求めます。

(2) $f'(x)$ を求めます。

(3) $f(x)$ のグラフの概形を描きます。

(4) 広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ の値を求めます。ただし、ベータ関数 $B(p, q) = \int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}} dx$ をヒントとして用います。

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{(n+1)^2}$ が収束することを示します。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求める。

$f(0) = \frac{\sqrt{0}}{(1+0)^2} = \frac{0}{1} = 0$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{1+2x+x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2(1/x^2 + 2/x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3/2}} = 0$

(2) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}$ を微分します。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+x)^2 - \sqrt{x} \cdot 2(1+x)}{(1+x)^4} = \frac{(1+x)\left(\frac{1+x}{2\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}\right)}{(1+x)^4} = \frac{\frac{1+x-4x}{2\sqrt{x}}}{(1+x)^3} = \frac{1-3x}{2\sqrt{x}(1+x)^3}$

(3) $f(x)$ のグラフの概形を描く。

$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}$

$f(0) = 0$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$f'(x) = \frac{1-3x}{2\sqrt{x}(1+x)^3}$

$f'(x) = 0$ となるのは $1-3x=0$ のときなので、$x = \frac{1}{3}$

$x < \frac{1}{3}$ のとき $f'(x) > 0$ なので増加。

$x > \frac{1}{3}$ のとき $f'(x) < 0$ なので減少。

よって $x=\frac{1}{3}$ で最大値 $f(\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{1/3}}{(1+1/3)^2} = \frac{1/\sqrt{3}}{16/9} = \frac{9}{16\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$

グラフは $x=0$ から増加して、$x=\frac{1}{3}$ で最大値を取り、$x \to \infty$ で $0$ に収束するグラフとなります。

(4) 広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$ の値を求める。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx$

ヒントのベータ関数を利用します。

$B(p, q) = \int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}} dx$

$\frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} = \frac{x^{1/2}}{(1+x)^2}$

$p-1 = \frac{1}{2}$ より $p = \frac{3}{2}$

$p+q = 2$ より $q = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx = B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2} + \frac{1}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(2)} = \frac{\frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{1} = \frac{1}{2} (\sqrt{\pi})^2 = \frac{\pi}{2}$

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{(n+1)^2}$ が収束することを示す。

$\frac{\sqrt{n}}{(n+1)^2} \approx \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ は $p > 1$ で収束するので、$p = \frac{3}{2} > 1$ より $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ は収束する。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{(n+1)^2}$ も収束する。

（より厳密には、比較判定法を用いる）

3. 最終的な答え

(1) $f(0) = 0$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

(2) $f'(x) = \frac{1-3x}{2\sqrt{x}(1+x)^3}$

(3) グラフの概形は省略します（上記参照）。

(4) $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2} dx = \frac{\pi}{2}$

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{(n+1)^2}$ は収束する（証明は上記参照）。