不定積分 $\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx$ を求め、与えられた形式 $\frac{2}{3} \log |アx + イ| - \frac{1}{2} \log |ウx - エ| + C$ に当てはまる $ア$, $イ$, $ウ$, $エ$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx$ を求め、与えられた形式 $\frac{2}{3} \log |アx + イ| - \frac{1}{2} \log |ウx - エ| + C$ に当てはまる $ア$, $イ$, $ウ$, $エ$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を因数分解します。

$6x^2 - x - 1 = (2x - 1)(3x + 1)$

次に、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x-3}{6x^2 - x - 1} = \frac{x-3}{(2x - 1)(3x + 1)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{3x + 1}$

両辺に $(2x - 1)(3x + 1)$ をかけると、

$x - 3 = A(3x + 1) + B(2x - 1)$

$x - 3 = (3A + 2B)x + (A - B)$

係数を比較すると、

$3A + 2B = 1$

$A - B = -3$

2番目の式から $A = B - 3$ となり、これを1番目の式に代入すると、

$3(B - 3) + 2B = 1$

$3B - 9 + 2B = 1$

$5B = 10$

$B = 2$

したがって、$A = B - 3 = 2 - 3 = -1$

よって、

$\frac{x-3}{6x^2 - x - 1} = \frac{-1}{2x - 1} + \frac{2}{3x + 1}$

積分を計算すると、

$\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx = \int \left( \frac{-1}{2x - 1} + \frac{2}{3x + 1} \right) dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{2}{2x - 1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{3}{3x + 1} dx$

$= -\frac{1}{2} \log |2x - 1| + \frac{2}{3} \log |3x + 1| + C$

$= \frac{2}{3} \log |3x + 1| - \frac{1}{2} \log |2x - 1| + C$

したがって、$ア = 3$, $イ = 1$, $ウ = 2$, $エ = 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 1

ウ: 2

エ: 1