与えられた関数について、増減を調べ、極値を求める問題です。具体的には、次の4つの関数について考えます。 (1) $y = x^4 - x^2 + 2$ (2) $y = x^3 - 5x^2 + 1$ (3) $y = xe^{-x}$ (4) $y = x \log x$

1. 問題の内容

与えられた関数について、増減を調べ、極値を求める問題です。具体的には、次の4つの関数について考えます。

(1) $y = x^4 - x^2 + 2$

(2) $y = x^3 - 5x^2 + 1$

(3) $y = xe^{-x}$

(4) $y = x \log x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減と極値を調べます。

1. 導関数 $y'$ を計算する。

2. $y' = 0$ となる $x$ の値を求める（臨界点）。

3. $y'$ の符号の変化を調べ、増減表を作成する。

4. 増減表に基づいて、極大値と極小値を特定する。

(1) $y = x^4 - x^2 + 2$

$y' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき。

増減表：

| x | ... | -1/√2 | ... | 0 | ... | 1/√2 | ... |

|-----------|------------|--------|-----------|---------|-----------|--------|-----------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4}$

$x = 0$ のとき、$y = 0^4 - 0^2 + 2 = 2$

(2) $y = x^3 - 5x^2 + 1$

$y' = 3x^2 - 10x = x(3x - 10)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, x = \frac{10}{3}$ のとき。

増減表：

| x | ... | 0 | ... | 10/3 | ... |

|-----------|------------|---------|-------------|----------|-------------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = 0$ のとき、$y = 0^3 - 5(0)^2 + 1 = 1$

$x = \frac{10}{3}$ のとき、$y = (\frac{10}{3})^3 - 5(\frac{10}{3})^2 + 1 = \frac{1000}{27} - \frac{500}{9} + 1 = \frac{1000 - 1500 + 27}{27} = -\frac{473}{27}$

(3) $y = xe^{-x}$

$y' = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1$ のとき。

増減表：

| x | ... | 1 | ... |

|-----------|------------|---------|------------|

| y' | + | 0 | - |

| y | ↑ | 極大 | ↓ |

$x = 1$ のとき、$y = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $y = x \log x$

定義域は $x > 0$

$y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$y' = 0$ となるのは、$\log x = -1$, つまり $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ のとき。

増減表：

| x | 0 | ... | 1/e | ... |

|-----------|---------|-----------|---------|----------|

| y' | | - | 0 | + |

| y | | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = \frac{1}{e}$ のとき、$y = \frac{1}{e} \log (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-\log e) = -\frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値 $\frac{7}{4}$、 $x = 0$ で極大値 $2$

(2) $x = 0$ で極大値 $1$、$x = \frac{10}{3}$ で極小値 $-\frac{473}{27}$

(3) $x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e}$

(4) $x = \frac{1}{e}$ で極小値 $-\frac{1}{e}$