1. 次の関数の逆関数を求める。 (1) $y = \sqrt[5]{x}$ (2) $y = x^{-3}$ (3) $y = \sqrt{x+3} - 2$

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1. 次の関数の逆関数を求める。

(1) $y = \sqrt[5]{x}$

(2) $y = x^{-3}$

(3) $y = \sqrt{x+3} - 2$

2. 次の関数の逆関数の導関数を求める。

(1) $y = x^2 - 2x$, ($x > 1$)

(2) $y = x^2 + 4x - 3$, ($x < -2$)

(3) $y = \frac{3x+2}{2x-1}$

(4) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$, ($x > -1$)

2. 解き方の手順

1. 逆関数の求め方：与えられた関数 $y = f(x)$ に対して、$x$ について解き、$x$ と $y$ を入れ替える。

(1) $y = \sqrt[5]{x}$ の逆関数を求める。

$y = \sqrt[5]{x}$ より、$x = y^5$。$x$ と $y$ を入れ替えると、$y = x^5$。

(2) $y = x^{-3}$ の逆関数を求める。

$y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ より、$x^3 = \frac{1}{y}$。したがって、$x = \sqrt[3]{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$。$x$ と $y$ を入れ替えると、$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$。

(3) $y = \sqrt{x+3} - 2$ の逆関数を求める。

$y = \sqrt{x+3} - 2$ より、$y + 2 = \sqrt{x+3}$。両辺を2乗すると、$(y+2)^2 = x+3$。したがって、$x = (y+2)^2 - 3$。$x$ と $y$ を入れ替えると、$y = (x+2)^2 - 3$。

2. 逆関数の導関数の求め方：逆関数を求めてから微分するか、逆関数の微分公式 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ を利用する。

(1) $y = x^2 - 2x$, ($x > 1$) の逆関数の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = 2x - 2$。

$y = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$。$y+1 = (x-1)^2$。$x > 1$ なので、$x-1 = \sqrt{y+1}$。よって、$x = \sqrt{y+1} + 1$。

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y+1}}$。

(2) $y = x^2 + 4x - 3$, ($x < -2$) の逆関数の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = 2x + 4$。

$y = x^2 + 4x - 3 = (x+2)^2 - 7$。$y+7 = (x+2)^2$。$x < -2$ なので、$x+2 = -\sqrt{y+7}$。よって、$x = -\sqrt{y+7} - 2$。

$\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2\sqrt{y+7}}$。

(3) $y = \frac{3x+2}{2x-1}$ の逆関数の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x-1) - 2(3x+2)}{(2x-1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x - 4}{(2x-1)^2} = \frac{-7}{(2x-1)^2}$。

$y(2x-1) = 3x+2$。$2xy - y = 3x+2$。$2xy - 3x = y + 2$。$x(2y-3) = y+2$。$x = \frac{y+2}{2y-3}$。

$\frac{dx}{dy} = \frac{1(2y-3) - 2(y+2)}{(2y-3)^2} = \frac{2y - 3 - 2y - 4}{(2y-3)^2} = \frac{-7}{(2y-3)^2}$。

(4) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$, ($x > -1$) の逆関数の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{(x+1)^3}$。

$(x+1)^2 = \frac{1}{y}$。$x+1 = \frac{1}{\sqrt{y}}$。$x = \frac{1}{\sqrt{y}} - 1$。

$\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2y\sqrt{y}}$。

3. 最終的な答え

1. (1) $y = x^5$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

(3) $y = (x+2)^2 - 3$

2. (1) $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y+1}}$

(2) $\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2\sqrt{y+7}}$

(3) $\frac{dx}{dy} = \frac{-7}{(2y-3)^2}$

(4) $\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2y\sqrt{y}}$