$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x$ を $\sin x$ を用いて表す。$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ であるから、

$y = 1 - 2\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 1$

$y = -2\sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 2$

(2) $t = \sin x$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$y = -2t^2 - 2\sqrt{3} t + 2$

$y = -2(t^2 + \sqrt{3} t) + 2$

$y = -2\left( \left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} \right) + 2$

$y = -2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + 2$

$y = -2\left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{7}{2}$

(3) $y$ は $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき最大値 $\frac{7}{2}$ をとる。

このとき、$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$0 \le x < 2\pi$ より $x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

(4) $t = 1$ のとき $y$ は最小値をとる。

$y = -2(1)^2 - 2\sqrt{3}(1) + 2 = -2 - 2\sqrt{3} + 2 = -2\sqrt{3}$

$t = 1$ のとき、$\sin x = 1$ であり、$0 \le x < 2\pi$ より $x = \frac{\pi}{2}$ である。

(5) $t = -1$ のとき $y = -2(-1)^2 - 2\sqrt{3}(-1) + 2 = -2 + 2\sqrt{3} + 2 = 2\sqrt{3}$

これは、$t=1$の時の値よりも大きいので、$t=1$のときに最小値を取る。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{7}{2}$ ($x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値: $-2\sqrt{3}$ ($x = \frac{\pi}{2}$ のとき)