3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (a, b, c, dは実数)のグラフが図1のように与えられている。このとき、$f(x)$ は $x = -2$ で極小値をとる。このとき、a, b, c, dの符号について考察する問題です。$f'(-2)$ の符号、$f''(2)$ の符号、$a$, $b$, $c$, $d$ の符号を求める必要があります。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (a, b, c, dは実数)のグラフが図1のように与えられている。このとき、$f(x)$ は $x = -2$ で極小値をとる。このとき、a, b, c, dの符号について考察する問題です。$f'(-2)$ の符号、$f''(2)$ の符号、$a$, $b$, $c$, $d$ の符号を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) グラフの形状から $f'(x)$ と $f''(x)$ の符号を判断する。

(2) $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ であるから、$f'(-2) = 0$ より $12a - 4b + c = 0$ が成り立つ。

(3) $f''(x) = 6ax + 2b$ であるから、$f''(2) = 12a + 2b$ である。$x = -2$ で極小値をとるので、$f''(-2) > 0$ より $-12a + 2b > 0$

(4) グラフから、$x$が十分大きい時、$y$ が大きいので、$a>0$。

(5) グラフとy軸との交点がy<0なので、$d<0$。

(6) $12a - 4b + c = 0$ を $c = 4b - 12a$ と変形する。$c$ の符号を評価するために、$b$ の符号を評価する必要がある。

(7) $-12a + 2b > 0$ より $2b > 12a$ すなわち $b > 6a > 0$。したがって $b > 0$。

(8) $c = 4b - 12a$ において、$b > 6a$ より $4b > 24a$ ゆえに $c > 24a - 12a = 12a > 0$。したがって、$c>0$。

以上より、$a>0$, $b>0$, $c>0$, $d<0$ であり、$f'(-2)=0$, $f''(-2)>0$。

3. 最終的な答え

$a > 0$

$b > 0$

$c > 0$

$d < 0$