不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺が正である必要があるので、$\cos x > 0$ であることが必要です。

$\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ の両辺を2乗すると、

$\sin^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$

$\sin^2 x + \frac{1}{2} < 1 - \sin^2 x$

$2 \sin^2 x < \frac{1}{2}$

$\sin^2 x < \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x > 0$ と $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$\cos x > 0$ となるのは、$0 \le x < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$

$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ となるのは、

$0 \le x < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

これらの共通範囲は、$0 \le x < \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$