$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、以下の三角方程式を解く問題です。 (1) $\sin(\theta + \frac{5}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、以下の三角方程式を解く問題です。

(1) $\sin(\theta + \frac{5}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\theta + \frac{5}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ を考えます。$0 \leq x < 2\pi$ において、$x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{2\pi}{3}$ が解です。

したがって、

$\theta + \frac{5}{6}\pi = \frac{\pi}{3}$ または $\theta + \frac{5}{6}\pi = \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{5}{6}\pi = \frac{2\pi - 5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3} - \frac{5}{6}\pi = \frac{4\pi - 5\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲にするために、 $2\pi$ を加えます。

$\theta = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{4\pi - \pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{12\pi - \pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

(2) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

まず、$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $x$ を考えます。$0 \leq x < 2\pi$ において、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{7\pi}{4}$ が解です。

したがって、

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}$ または $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

$\theta = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{21\pi + 4\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $\theta = \frac{7\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$