3. 次の式の値を求めよ。 (1) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ (2) $\sin(\tan^{-1}0)$ (3) $\sin^{-1}(\sec\pi)$

1. 問題の内容

3. 次の式の値を求めよ。

(1) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

(2) $\sin(\tan^{-1}0)$

(3) $\sin^{-1}(\sec\pi)$

2. 解き方の手順

(1) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ を求める。

$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を探す。 $\tan$ の値が $-\sqrt{3}$ となる角度は、$-\frac{\pi}{3}$ である。$\tan^{-1}$ の定義域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ なので、$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

(2) $\sin(\tan^{-1}0)$ を求める。

$\tan^{-1}0 = 0$ である。なぜなら、$\tan 0 = 0$ であり、$0$ は $\tan^{-1}$ の定義域 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ に含まれるからである。

したがって、$\sin(\tan^{-1}0) = \sin(0) = 0$.

(3) $\sin^{-1}(\sec\pi)$ を求める。

$\sec\pi = \frac{1}{\cos\pi} = \frac{1}{-1} = -1$.

$\sin^{-1}(-1)$ を求める。$\sin \theta = -1$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{2}$ である。$\sin^{-1}$ の定義域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ なので、$\sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

したがって、$\sin^{-1}(\sec\pi) = \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\pi}{3}$

(2) $0$

(3) $-\frac{\pi}{2}$