与えられた積分を計算する問題です。具体的には、以下の式を計算します。 $\int_{-1}^{a} (x-a)(x-1) dx - \int_{a}^{1} (x-a)(x-1) dx = \int_{-1}^{a} \{(x-a)^2 + (a-1)(x-a)\}dx - \int_{a}^{1} \{(x-a)^2 + (a-1)(x-a)\}dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。具体的には、以下の式を計算します。

$\int_{-1}^{a} (x-a)(x-1) dx - \int_{a}^{1} (x-a)(x-1) dx = \int_{-1}^{a} \{(x-a)^2 + (a-1)(x-a)\}dx - \int_{a}^{1} \{(x-a)^2 + (a-1)(x-a)\}dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開して整理します。

$(x-a)(x-1) = x^2 - x - ax + a = x^2 - (a+1)x + a$

したがって、

$\int_{-1}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx - \int_{a}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int (x^2 - (a+1)x + a) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{(a+1)x^2}{2} + ax + C$

ここで、$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{(a+1)x^2}{2} + ax$と定義します。

$\int_{-1}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx = F(a) - F(-1) = \frac{a^3}{3} - \frac{(a+1)a^2}{2} + a^2 - (\frac{-1}{3} - \frac{a+1}{2} - a)$

$\int_{a}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx = F(1) - F(a) = \frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} + a - (\frac{a^3}{3} - \frac{(a+1)a^2}{2} + a^2)$

したがって、

$\int_{-1}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx - \int_{a}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx = F(a) - F(-1) - (F(1) - F(a)) = 2F(a) - F(1) - F(-1)$

$= 2(\frac{a^3}{3} - \frac{(a+1)a^2}{2} + a^2) - (\frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} + a) - (\frac{-1}{3} - \frac{a+1}{2} - a)$

$= 2(\frac{a^3}{3} - \frac{a^3 + a^2}{2} + a^2) - \frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} - a + \frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} + a$

$= \frac{2a^3}{3} - a^3 - a^2 + 2a^2 + a + 1 = -\frac{a^3}{3} + a^2 + a + 1$

$= -\frac{a^3}{3} + a^2 + a + 1$

3. 最終的な答え

$-\frac{a^3}{3} + a^2 + a + 1$