次の3つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx$ (2) $\int x \log(1+x) dx$ (3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx$

はい、承知いたしました。画像にある3つの不定積分を計算します。

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx$

(2) $\int x \log(1+x) dx$

(3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx$ の場合：

まず、多項式の割り算を実行します。

$x^4 = (x+1)(x^3 - x^2 + x - 1) + 1$

したがって、

$\frac{x^4}{x+1} = x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x^4}{x+1} dx = \int (x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1}) dx$

$= \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + \log|x+1| + C$

(2) $\int x \log(1+x) dx$ の場合：

部分積分を用います。$u = \log(1+x)$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log(1+x) dx = \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \int \frac{x^2}{2(1+x)} dx$

次に、$\int \frac{x^2}{2(1+x)} dx$ を計算します。$\frac{x^2}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{1+x}$ であるから、

$\int \frac{x^2}{2(1+x)} dx = \frac{1}{2} \int (x - 1 + \frac{1}{1+x}) dx = \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|1+x|)$

よって、

$\int x \log(1+x) dx = \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|1+x|) + C$

$= \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\log|1+x| + C$

$= (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2})\log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$

(3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx$ の場合：

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、積分を $\sin x$ の関数に変えます。

$\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x + 2\sin x - 2} dx = \int \frac{\cos x}{-\sin^2 x + 2\sin x - 1} dx$

ここで、$t = \sin x$ とすると、$dt = \cos x dx$ となるので、

$\int \frac{\cos x}{-\sin^2 x + 2\sin x - 1} dx = \int \frac{1}{-t^2 + 2t - 1} dt = -\int \frac{1}{(t-1)^2} dt$

$= \frac{1}{t-1} + C = \frac{1}{\sin x - 1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + \log|x+1| + C$

(2) $\int x \log(1+x) dx = (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2})\log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$

(3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx = \frac{1}{\sin x - 1} + C$