与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ のフーリエ変換を求めます。ここで、 $f(x) = \begin{cases} 2 & (-3 \leq x < 0) \\ 0 & (x < -3, x > 0) \end{cases}$ $g(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (x < 0, x > 1) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ のフーリエ変換を求めます。ここで、

$f(x) = \begin{cases} 2 & (-3 \leq x < 0) \\ 0 & (x < -3, x > 0) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x \leq 1) \\ 0 & (x < 0, x > 1) \end{cases}$

2. 解き方の手順

フーリエ変換は、一般に次のように定義されます。

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-j\omega x} dx$

(a) 関数 $f(x)$ のフーリエ変換 $F(\omega)$ を計算します。積分範囲は $-3 \leq x < 0$ であり、$f(x) = 2$ です。

$F(\omega) = \int_{-3}^{0} 2e^{-j\omega x} dx = 2 \int_{-3}^{0} e^{-j\omega x} dx$

$F(\omega) = 2 \left[ \frac{e^{-j\omega x}}{-j\omega} \right]_{-3}^{0} = \frac{2}{-j\omega} (e^{0} - e^{3j\omega}) = \frac{2j}{\omega} (1 - e^{3j\omega})$

$F(\omega) = \frac{2j}{\omega} (1 - \cos(3\omega) - j\sin(3\omega)) = \frac{2j}{\omega} - \frac{2j\cos(3\omega)}{\omega} + \frac{2\sin(3\omega)}{\omega}$

$F(\omega) = \frac{2\sin(3\omega)}{\omega} + \frac{2j(1 - \cos(3\omega))}{\omega}$

(b) 関数 $g(x)$ のフーリエ変換 $G(\omega)$ を計算します。積分範囲は $0 \leq x \leq 1$ であり、$g(x) = x$ です。

$G(\omega) = \int_{0}^{1} xe^{-j\omega x} dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^{-j\omega x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{e^{-j\omega x}}{-j\omega}$ です。

$G(\omega) = \left[ x \frac{e^{-j\omega x}}{-j\omega} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{-j\omega x}}{-j\omega} dx = \frac{e^{-j\omega}}{-j\omega} - \left[ \frac{e^{-j\omega x}}{(-j\omega)^2} \right]_{0}^{1}$

$G(\omega) = \frac{e^{-j\omega}}{-j\omega} - \frac{e^{-j\omega}}{-\omega^2} + \frac{1}{-\omega^2} = \frac{j e^{-j\omega}}{\omega} + \frac{e^{-j\omega}}{\omega^2} - \frac{1}{\omega^2}$

$G(\omega) = \frac{j (\cos\omega - j\sin\omega)}{\omega} + \frac{\cos\omega - j\sin\omega}{\omega^2} - \frac{1}{\omega^2} = \frac{\sin\omega}{\omega} + \frac{j\cos\omega}{\omega} + \frac{\cos\omega}{\omega^2} - \frac{j\sin\omega}{\omega^2} - \frac{1}{\omega^2}$

$G(\omega) = \frac{\sin\omega}{\omega} + \frac{\cos\omega - 1}{\omega^2} + j(\frac{\cos\omega}{\omega} - \frac{\sin\omega}{\omega^2})$

3. 最終的な答え

(a) $f(x)$ のフーリエ変換は、

$F(\omega) = \frac{2\sin(3\omega)}{\omega} + \frac{2j(1 - \cos(3\omega))}{\omega}$

(b) $g(x)$ のフーリエ変換は、

$G(\omega) = \frac{\sin\omega}{\omega} + \frac{\cos\omega - 1}{\omega^2} + j(\frac{\cos\omega}{\omega} - \frac{\sin\omega}{\omega^2})$