周期 $2$ の関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} 2 & (-1 \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < 1) \end{cases}$ この関数の複素フーリエ級数を求めます。ここで、$f(x+2) = f(x)$です。

1. 問題の内容

周期 $2$ の関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} 2 & (-1 \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < 1) \end{cases}$

この関数の複素フーリエ級数を求めます。ここで、$f(x+2) = f(x)$です。

2. 解き方の手順

周期 $T$ の関数 $f(x)$ の複素フーリエ級数は、次のように表されます。

$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{2\pi}{T}nx}$

ここで、$c_n$ は複素フーリエ係数であり、次のように計算されます。

$c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i \frac{2\pi}{T}nx} dx$

この問題では、$T = 2$ なので、

$c_n = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) e^{-i \pi nx} dx$

関数 $f(x)$ の定義より、積分範囲を $-1$ から $0$ と $0$ から $1$ に分けて計算します。

$c_n = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} 2 e^{-i \pi nx} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 0 e^{-i \pi nx} dx$

$c_n = \int_{-1}^{0} e^{-i \pi nx} dx$

$c_n = \left[ \frac{e^{-i \pi nx}}{-i \pi n} \right]_{-1}^{0}$ （$n \neq 0$ のとき）

$c_n = \frac{e^{0} - e^{i \pi n}}{-i \pi n} = \frac{1 - e^{i \pi n}}{-i \pi n} = \frac{1 - (\cos(\pi n) + i \sin(\pi n))}{-i \pi n}$

$c_n = \frac{1 - (-1)^n}{-i \pi n} = \frac{1 - (-1)^n}{-i \pi n} = \frac{i(1 - (-1)^n)}{\pi n}$

$n = 0$ のとき、

$c_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} 2 dx = \int_{-1}^{0} dx = [x]_{-1}^{0} = 0 - (-1) = 1$

したがって、

$f(x) = 1 + \sum_{n = -\infty, n\neq 0}^{\infty} \frac{i(1 - (-1)^n)}{\pi n} e^{i \pi nx}$

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 + \sum_{n = -\infty, n\neq 0}^{\infty} \frac{i(1 - (-1)^n)}{\pi n} e^{i \pi nx}$

あるいは、

$f(x) = 1 + \sum_{n = -\infty, n\neq 0}^{\infty} \frac{i(1 - (-1)^n)}{\pi n} e^{i \pi nx} = 1 + \sum_{n = -\infty, n\neq 0}^{\infty} c_n e^{i \pi nx}$

ここで、$c_0 = 1$ であり、$n \neq 0$ のとき、$c_n = \frac{i(1 - (-1)^n)}{\pi n}$です。