定積分 $\int_1^2 x^4 \log x \, dx$ の値を、$\frac{\text{ア}}{5} \log 2 + \frac{\text{イ}}{25}$ の形で求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^2 x^4 \log x \, dx$ の値を、$\frac{\text{ア}}{5} \log 2 + \frac{\text{イ}}{25}$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = x^4 \, dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^5}{5}$ となります。

よって、

$$$$

\int_1^2 x^4 \log x \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \log x \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \log x \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^4}{5} \, dx

$$$$

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= \left( \frac{2^5}{5} \log 2 - \frac{1^5}{5} \log 1 \right) - \left[ \frac{x^5}{25} \right]_1^2 = \frac{32}{5} \log 2 - 0 - \left( \frac{2^5}{25} - \frac{1^5}{25} \right)

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= \frac{32}{5} \log 2 - \frac{32}{25} + \frac{1}{25} = \frac{32}{5} \log 2 - \frac{31}{25}

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与えられた形式 $\frac{\text{ア}}{5} \log 2 + \frac{\text{イ}}{25}$ と比較すると、

$\text{ア} = 32$, $\text{イ} = -31$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 32

イ = -31

## 問題2

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e \frac{\log x}{x^2} \, dx$ の値を、$\text{ア} + \frac{\text{イ}}{e}$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} \, dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

よって、

$$$$

\int_1^e \frac{\log x}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_1^e - \int_1^e -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_1^e + \int_1^e \frac{1}{x^2} \, dx

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= \left( -\frac{\log e}{e} - \left( -\frac{\log 1}{1} \right) \right) + \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^e = -\frac{1}{e} + 0 - \frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}

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与えられた形式 $\text{ア} + \frac{\text{イ}}{e}$ と比較すると、

$\text{ア} = 1$, $\text{イ} = -2$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = -2