与えられた2つの関数について、連続性を調べます。 (1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ (2) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、連続性を調べます。

(1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$

(2) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ の場合：

* 多項式関数は連続である。

* $x^2+1$ は多項式関数であり、すべての実数 $x$ に対して $x^2 + 1 > 0$ であるため、分母が0になることはありません。

* したがって、$f(x)$ はすべての実数 $x$ に対して連続です。

(2) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases}$ の場合：

* $x \neq 0$ では、$\sin x$ と $x$ は連続なので、$\frac{\sin x}{x}$ も連続です。

* $x=0$ での連続性を調べます。

* $x=0$ での関数値は $f(0) = 1$ です。

* 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ を求めます。

* これは有名な極限であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ です。

* したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$ となり、関数は $x=0$ で連続です。

* よって、$f(x)$ はすべての実数 $x$ に対して連続です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ はすべての実数 $x$ で連続。

(2) $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x=0) \end{cases}$ はすべての実数 $x$ で連続。