次の3つの広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$, ただし、$a, b > 0$ かつ $a \ne b$ (3) $\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

次の3つの広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$, ただし、$a, b > 0$ かつ $a \ne b$

(3) $\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ の場合：

部分積分を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = \left[-\frac{\log x}{x}\right]_{1}^{\infty} - \int_{1}^{\infty} -\frac{1}{x^2} dx$

$= \left[-\frac{\log x}{x}\right]_{1}^{\infty} + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

$= \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{\log t}{t}\right] - \left[-\frac{\log 1}{1}\right] + \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t}$

$= 0 - 0 + \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{1}{t} + \frac{1}{1}\right]$

$= 0 + 1 = 1$

(2) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}$ の場合：

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} = \frac{A}{x^2+a^2} + \frac{B}{x^2+b^2}$

$1 = A(x^2+b^2) + B(x^2+a^2)$

$1 = (A+B)x^2 + (Ab^2 + Ba^2)$

$A+B = 0$ かつ $Ab^2 + Ba^2 = 1$

$A = -B$ より、 $-Bb^2 + Ba^2 = 1$

$B(a^2 - b^2) = 1$

$B = \frac{1}{a^2 - b^2}$

$A = -\frac{1}{a^2 - b^2} = \frac{1}{b^2 - a^2}$

したがって、

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{b^2-a^2}\frac{1}{x^2+a^2} + \frac{1}{a^2-b^2}\frac{1}{x^2+b^2}\right) dx$

$= \frac{1}{b^2-a^2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+a^2} dx + \frac{1}{a^2-b^2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2+b^2} dx$

$= \frac{1}{b^2-a^2} \left[\frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{a^2-b^2} \left[\frac{1}{b} \arctan\left(\frac{x}{b}\right)\right]_{0}^{\infty}$

$= \frac{1}{b^2-a^2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{a^2-b^2} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{\pi}{2}$

$= \frac{\pi}{2} \left(\frac{1}{a(b^2-a^2)} + \frac{1}{b(a^2-b^2)}\right) = \frac{\pi}{2} \left(\frac{b - a}{ab(b^2-a^2)}\right) = \frac{\pi}{2} \left(\frac{b-a}{ab(b-a)(b+a)}\right)$

$= \frac{\pi}{2ab(a+b)}$

(3) $\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ の場合：

置換積分を行います。$x = \sin \theta$ とすると、$dx = \cos \theta d\theta$ となり、積分範囲は $-\frac{\pi}{2}$ から $\frac{\pi}{2}$ に変わります。

$\int_{-1}^{1} \frac{x \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin\theta \cdot \theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin\theta \cdot \theta}{\cos\theta} \cos\theta d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \theta \sin\theta d\theta$

部分積分を行います。$u = \theta$, $dv = \sin \theta d\theta$ とすると、$du = d\theta$, $v = -\cos \theta$ となります。

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \theta \sin\theta d\theta = [-\theta\cos\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} -\cos\theta d\theta$

$= [-\theta\cos\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta = (-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2}\cos(-\frac{\pi}{2})) + [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$

$= 0 + \sin\frac{\pi}{2} - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\pi}{2ab(a+b)}$

(3) 2