はい、承知いたしました。画像にある4つの問題の解き方を説明します。

はい、承知いたしました。画像にある4つの問題の解き方を説明します。

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1. 問題の内容**

与えられた関数 $y$ について、それぞれの導関数を求めます。

(7) $y = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$

(8) $y = \sqrt{(x + 1)(x - 2)}$

(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(10) $y = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$

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2. 解き方の手順**

(7) $y = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ の場合：

合成関数の微分と商の微分を使います。まず、$u = 1 + \sqrt{x}$ とおくと、$y = \frac{1}{u}$ です。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{(1 + \sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$

(8) $y = \sqrt{(x + 1)(x - 2)}$ の場合：

合成関数の微分と積の微分を使います。まず、$u = (x + 1)(x - 2)$ とおくと、$y = \sqrt{u}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{(x + 1)(x - 2)}}$

$\frac{du}{dx} = (x + 1)'(x - 2) + (x + 1)(x - 2)' = (x - 2) + (x + 1) = 2x - 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{(x + 1)(x - 2)}} \cdot (2x - 1) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{(x + 1)(x - 2)}}$

(9) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の場合：

商の微分と合成関数の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x)'\sqrt{x^2 + 1} - x(\sqrt{x^2 + 1})'}{(\sqrt{x^2 + 1})^2}$

$(\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(10) $y = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ の場合：

合成関数の微分と商の微分を使います。まず、$u = \frac{1 - x}{1 + x}$ とおくと、$y = \sqrt{u}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{(1 - x)'(1 + x) - (1 - x)(1 + x)'}{(1 + x)^2} = \frac{-(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^2} = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} = \frac{-2}{(1 + x)^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} \cdot \frac{-2}{(1 + x)^2} = \frac{-1}{(1 + x)^2 \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}} = \frac{-1}{(1 + x)^2 \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 + x}}} = \frac{-1}{(1 + x)^{3/2} \sqrt{1 - x}} = \frac{-1}{\sqrt{(1 + x)^3 (1 - x)}} = \frac{-1}{\sqrt{(1 + x)^2(1-x^2)}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

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3. 最終的な答え**

(7) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - 1}{2\sqrt{(x + 1)(x - 2)}}$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$