与えられた数列が単調増加することを示し、上に有界かどうかを調べる問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

1. 問題の内容

与えられた数列が単調増加することを示し、上に有界かどうかを調べる問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

2. 解き方の手順

(1)

数列のn項目を $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ とします。

増加数列であることを示すには、$a_{n+1} - a_n > 0$ を示せば良いです。

$a_{n+1} - a_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$

したがって、数列は単調増加です。

次に、上に有界かどうかを調べます。部分分数分解を利用して、

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

$a_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1$

したがって、数列は上に有界です。上限は1です。

(2)

数列のn項目を $b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ とします。

増加数列であることを示すには、$b_{n+1} - b_n > 0$ を示せば良いです。

$b_{n+1} - b_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$

したがって、数列は単調増加です。

次に、上に有界かどうかを調べます。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ であることが知られています。

または、$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$を利用して評価することも可能です。

したがって、数列は上に有界です。

(3)

数列のn項目を $c_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ とします。これは調和数列です。

増加数列であることを示すには、$c_{n+1} - c_n > 0$ を示せば良いです。

$c_{n+1} - c_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} > 0$

したがって、数列は単調増加です。

次に、上に有界かどうかを調べます。

調和数列は発散することが知られています。したがって、上に有界ではありません。

証明の概略：$c_{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+...>1+\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{8}+...=1+\frac{n}{2}$

nを大きくするといくらでも大きくなるので、上に有界ではない。

3. 最終的な答え

(1) 増加数列であり、上に有界である。上限は1。

(2) 増加数列であり、上に有界である。

(3) 増加数列であり、上に有界ではない。