与えられた3つの数列の和をそれぞれ求めます。 (1) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$ (2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ (3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の和をそれぞれ求めます。

(1) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$

(2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$

(3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ と分解できます。これを利用して、和を計算します。

(2) この和は、n が無限大に近づくときの極限が $\frac{\pi^2}{6}$ になることが知られていますが、n が有限の場合の閉じた式は存在しません。ここでは、n が有限のまま答えを表現することにします。

(3) これは調和数と呼ばれる数列の和であり、$H_n$と表されます。これも、n が有限の場合の閉じた式は存在しません。

(1)

$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ は初等関数では表せませんが、$n$ を用いて表現します。

(3)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ は調和数 $H_n$ と表されます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{n+1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$