与えられた定積分 $\int_0^2 x(x^2+1)^3 dx$ を計算します。

## (1) $\int_0^2 x(x^2+1)^3 dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^2 x(x^2+1)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = x^2 + 1$ と置くと、$du = 2x dx$ となります。よって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $u = 0^2 + 1 = 1$、$x=2$ のとき $u = 2^2 + 1 = 5$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^2 x(x^2+1)^3 dx = \int_1^5 u^3 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^5 u^3 du$

次に、$u^3$ の積分を計算します。

$\int u^3 du = \frac{1}{4}u^4 + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} \int_1^5 u^3 du = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_1^5 = \frac{1}{8} \left[ u^4 \right]_1^5 = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{1}{8} (625 - 1) = \frac{1}{8} (624)$

3. 最終的な答え

$\frac{624}{8} = 78$

## (2) $\int_1^{e^2} \frac{dx}{x \log x}$

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_1^{e^2} \frac{dx}{x \log x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = \log x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $u = \log 1 = 0$、$x=e^2$ のとき $u = \log e^2 = 2$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x \log x} = \int_0^2 \frac{du}{u}$

この積分は $u=0$ で定義されないので、広義積分として考えます。

$\lim_{a \to +0} \int_a^2 \frac{du}{u} = \lim_{a \to +0} [\log u]_a^2 = \lim_{a \to +0} (\log 2 - \log a)$

$\lim_{a \to +0} \log a = -\infty$ なので、この積分は発散します。

3. 最終的な答え

発散

## (3) $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

三角関数による置換積分を行います。$x = 4\sin\theta$ と置くと、$dx = 4\cos\theta d\theta$ となります。また、$\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-16\sin^2\theta} = \sqrt{16(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{16\cos^2\theta} = 4\cos\theta$ となります。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $4\sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$、$x=2$ のとき $4\sin\theta = 2$ なので $\sin\theta = \frac{1}{2}$、$\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}} = \int_0^{\pi/6} \frac{4\cos\theta d\theta}{4\cos\theta} = \int_0^{\pi/6} d\theta = [\theta]_0^{\pi/6} = \frac{\pi}{6} - 0$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$

## (4) $\int_0^2 \frac{dx}{x^2+4}$

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^2 \frac{dx}{x^2+4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ という公式を使います。この問題では、$a^2=4$ なので、$a=2$ です。

$\int_0^2 \frac{dx}{x^2+4} = \left[ \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( \arctan \frac{2}{2} - \arctan \frac{0}{2} \right) = \frac{1}{2} (\arctan 1 - \arctan 0) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8}$