曲線 $y = -x^3 + 4x$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + 4x$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を求めます。2つのグラフの交点を求めるため、$-x^3 + 4x = x + 2$ を解きます。

$-x^3 + 3x - 2 = 0$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$

よって、$x = 1, -2$ が交点の $x$ 座標です。

したがって、積分範囲は $-2$ から $1$ です。

次に、積分する関数を求めます。グラフから、区間$[-2, 1]$では直線$y=x+2$が曲線$y=-x^3+4x$の上にあることがわかります。したがって、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_{-2}^{1} \{(x + 2) - (-x^3 + 4x)\} dx$

$S = \int_{-2}^{1} (x + 2 + x^3 - 4x) dx$

$S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$

積分を計算します。

$S = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

$S = \left( \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(4) - 4 \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} \right) - \left( 4 - 6 - 4 \right)$

$S = \left( \frac{3}{4} \right) - \left( -6 \right)$

$S = \frac{3}{4} + 6$

$S = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{27}{4}$