与えられた2つの曲線について、凹凸を調べ、変曲点を求める。 (1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$ (2) $y = e^{-2x^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの曲線について、凹凸を調べ、変曲点を求める。

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$

(2) $y = e^{-2x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$ について

ステップ1: 1階微分を求める。

$y' = 2x - \frac{1}{2x^2}$

ステップ2: 2階微分を求める。

$y'' = 2 + \frac{1}{x^3}$

ステップ3: $y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$2 + \frac{1}{x^3} = 0$

$\frac{1}{x^3} = -2$

$x^3 = -\frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ4: $y''$ の符号を調べる。

$x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ かつ $x \ne 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

ステップ5: 変曲点を求める。

$x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、

$y = (-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 + \frac{1}{2(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})} = \frac{1}{2^{2/3}} - \frac{1}{2} \cdot (-\sqrt[3]{2}) = \frac{1}{2^{2/3}} + \frac{2^{1/3}}{2} = \frac{1}{2^{2/3}} + \frac{1}{2^{2/3}} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1/3}$

したがって、変曲点は $(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, 2^{1/3})$

(2) $y = e^{-2x^2}$ について

ステップ1: 1階微分を求める。

$y' = e^{-2x^2} \cdot (-4x) = -4xe^{-2x^2}$

ステップ2: 2階微分を求める。

$y'' = -4e^{-2x^2} - 4x \cdot e^{-2x^2} \cdot (-4x) = -4e^{-2x^2} + 16x^2 e^{-2x^2} = e^{-2x^2} (16x^2 - 4)$

ステップ3: $y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$e^{-2x^2} (16x^2 - 4) = 0$

$16x^2 - 4 = 0$

$16x^2 = 4$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{1}{2}$

ステップ4: $y''$ の符号を調べる。

$x < -\frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

ステップ5: 変曲点を求める。

$x = \pm \frac{1}{2}$ のとき、

$y = e^{-2(\pm \frac{1}{2})^2} = e^{-2(\frac{1}{4})} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

したがって、変曲点は $(\pm \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$

3. 最終的な答え

(1)

上に凸：$x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

下に凸：$x > -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ かつ $x \ne 0$

変曲点：$(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, 2^{1/3})$

(2)

上に凸：$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

下に凸：$x < -\frac{1}{2}$, $x > \frac{1}{2}$

変曲点：$(\pm \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$