二次関数 $f(x) = 2x^2 + 6x + 9$ のグラフを描き、区間 $0 \le x \le 2$ におけるグラフと x軸の間にできる図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = 2x^2 + 6x + 9$ のグラフを描き、区間 $0 \le x \le 2$ におけるグラフと x軸の間にできる図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 + 6x + 9 = 2(x^2 + 3x) + 9 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 9 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{9}{4} + 9 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}$

したがって、頂点の座標は $\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)$ です。

次に、区間 $0 \le x \le 2$ におけるグラフと x軸の間にできる図形の面積を求めます。

これは、$x=0$ から $x=2$ までの $f(x)$ の定積分で計算できます。

$S = \int_{0}^{2} (2x^2 + 6x + 9) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 9x\right]_{0}^{2}$

$S = \left(\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 9(2)\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^3 + 3(0)^2 + 9(0)\right) = \frac{16}{3} + 12 + 18 = \frac{16}{3} + 30 = \frac{16}{3} + \frac{90}{3} = \frac{106}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{106}{3}$