曲線 $y = -x^2 + 4x$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + 4x$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を決定するために、$y = -x^2 + 4x$ と $y = x + 2$ の交点を求めます。

$-x^2 + 4x = x + 2$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x = 1, 2$ が交点のx座標になります。

次に、$x$ の範囲 $[1, 2]$ において、$y = x + 2$ の方が $y = -x^2 + 4x$ より大きいので、積分は以下のようになります。

$S = \int_{1}^{2} [(x + 2) - (-x^2 + 4x)] dx$

$S = \int_{1}^{2} (x + 2 + x^2 - 4x) dx$

$S = \int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx$

積分を実行します。

$S = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{1}^{2}$

$S = \left(\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)\right) - \left(\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1)\right)$

$S = \left(\frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2\right)$

$S = \left(\frac{8}{3} - 6 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2\right)$

$S = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2$

$S = \frac{7}{3} + \frac{3}{2} - 4$

$S = \frac{14 + 9 - 24}{6} = \frac{-1}{6}$

面積なので正の値にする。

$S = \left|\frac{-1}{6}\right| = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$