微分方程式 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}}$ を解いて、$x$ を $t$ の関数として求める問題です。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}}$ を解いて、$x$ を $t$ の関数として求める問題です。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を解くためには、まず両辺を $dt$ で積分します。

$\int dx = \int \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}} dt$

左辺は簡単に積分できます。右辺の積分を計算するために、変数を置換します。

$t = \sqrt{\frac{a}{b}}\sin{\theta}$ と置くと、

$dt = \sqrt{\frac{a}{b}}\cos{\theta} d\theta$

となります。これを積分に代入すると、

$\int \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}} dt = \int \frac{1}{\sqrt{a - b(\frac{a}{b}\sin^2{\theta})}} \sqrt{\frac{a}{b}}\cos{\theta} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{\frac{a}{b}}\cos{\theta}}{\sqrt{a(1 - \sin^2{\theta})}} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{\frac{a}{b}}\cos{\theta}}{\sqrt{a\cos^2{\theta}}} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{\frac{a}{b}}\cos{\theta}}{\sqrt{a}\cos{\theta}} d\theta$

$= \int \sqrt{\frac{1}{b}} d\theta$

$= \frac{1}{\sqrt{b}}\int d\theta$

$= \frac{1}{\sqrt{b}}\theta + C_1$

ここで、$\theta = \arcsin(\sqrt{\frac{b}{a}}t)$ ですから、

$\int \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}} dt = \frac{1}{\sqrt{b}} \arcsin{\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)} + C_1$

したがって、

$x = \frac{1}{\sqrt{b}} \arcsin{\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{\sqrt{b}}\arcsin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + C$