関数 $f = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたとき、線積分 $\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{s}$ を計算します。ただし、$C$ は平面 $y+z=2$ と円筒面 $x^2 + y^2 = a^2$ との交線です。

1. 問題の内容

関数 $f = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたとき、線積分 $\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{s}$ を計算します。ただし、$C$ は平面 $y+z=2$ と円筒面 $x^2 + y^2 = a^2$ との交線です。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を用いると、線積分を面積分に変換できます。ストークスの定理は次の通りです。

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$

ここで、$\mathbf{F} = \nabla f$ なので、

$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{s} = \iint_S (\nabla \times \nabla f) \cdot d\mathbf{S}$

任意の関数 $f$ に対して、$\nabla \times \nabla f = \mathbf{0}$ が成り立ちます。したがって、

$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{s} = \iint_S \mathbf{0} \cdot d\mathbf{S} = 0$

したがって、面積分はゼロになります。

3. 最終的な答え

$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{s} = 0$