与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）すること。 (1) $f(x) = \frac{1}{1-x}$ (2) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ (3) $f(x) = \frac{1}{1-3x+2x^2}$ (4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$

はい、承知いたしました。マクローリン展開の問題ですね。画像に示されている問題のうち、(1)から(4)までの関数について、マクローリン展開を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）すること。

(1) $f(x) = \frac{1}{1-x}$

(2) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$

(3) $f(x) = \frac{1}{1-3x+2x^2}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を以下のように無限級数で表します。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

ただし、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階導関数を $x=0$ で評価した値です。

(1) $f(x) = \frac{1}{1-x}$

これは等比級数の公式を利用できます。

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

(2) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$

これも等比級数の公式を利用できます。 $x$ を $x^2$ に置き換えるだけです。

$\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \dots$

(3) $f(x) = \frac{1}{1-3x+2x^2}$

部分分数分解を行います。

$1-3x+2x^2 = (1-x)(1-2x)$

したがって、

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{1}{(1-x)(1-2x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-2x}$

$1 = A(1-2x) + B(1-x)$

$x=1$ のとき、$1 = A(1-2) + B(0) \Rightarrow A = -1$

$x=\frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(0) + B(1-\frac{1}{2}) \Rightarrow B = 2$

$\frac{1}{1-3x+2x^2} = \frac{-1}{1-x} + \frac{2}{1-2x} = - \sum_{n=0}^{\infty} x^n + 2 \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1 + 2^{n+1}) x^n$

$= (-1+2) + (-1+4)x + (-1+8)x^2 + (-1+16)x^3 + \dots = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + \dots$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-\frac{1}{2}}$

二項定理を利用します。 $(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$

ここで、$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-n+1)}{n!}$

$(1+x)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{2}}{n} x^n = 1 + (-\frac{1}{2})x + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!}x^3 + \dots$

$= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \dots$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

(2) $\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \dots$

(3) $\frac{1}{1-3x+2x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (2^{n+1}-1) x^n = 1 + 3x + 7x^2 + 15x^3 + \dots$

(4) $\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \dots$