微分可能な関数 $f(x), g(x)$ が与えられており、$f'(x) = g'(x)$ であるとき、$f(x) = g(x) + C$ (ただし、$C$ は定数) となることを証明する必要があります。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x), g(x)$ が与えられており、$f'(x) = g'(x)$ であるとき、$f(x) = g(x) + C$ (ただし、$C$ は定数) となることを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数 $h(x)$ を以下のように定義します。

$h(x) = f(x) - g(x)$

この $h(x)$ を微分すると、

$h'(x) = f'(x) - g'(x)$

問題文の条件より $f'(x) = g'(x)$ なので、

$h'(x) = 0$

$h'(x) = 0$ であるということは、$h(x)$ が定数関数であることを意味します。つまり、$h(x) = C$ (Cは定数) と表せます。

$h(x) = f(x) - g(x) = C$ より、

$f(x) = g(x) + C$

これで、$f(x) = g(x) + C$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$f(x) = g(x) + C$