与えられた問題は、以下の極限の対数を計算することです。 $\log(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x})$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の極限の対数を計算することです。

$\log(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x})$

2. 解き方の手順

まず、極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x}$ は、自然対数の底 $e$ の定義を利用できる形に似ています。$y = x/3$ と置くと、$x = 3y$ となり、$x \to \infty$ のとき $y \to \infty$となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x} = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{6y} = \lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^{y})^6$

ここで、$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{y} = e$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x} = e^6$

次に、この結果の対数を計算します。

$\log(e^6) = 6 \log(e)$

底が10の対数（常用対数）であれば $\log_{10} (e^6) = 6 \log_{10} (e)$ です.

しかし、底がeの自然対数であれば $\log_{e}(e^6) = 6 \log_{e}(e) = 6$です。

問題の $\log$ が自然対数であると仮定すると、 $\log(e^6)=6$です。

3. 最終的な答え

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