与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x}$

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義を利用して解くことができます。

$e$ の定義は以下の通りです。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

または、より一般的に

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$

今回の問題では、$1 + \frac{3}{x}$ の部分が $e$ の定義に似ています。

指数部分の $2x$ を $x$ に近づけるために、次のように変形します。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{x} \right]^2$

ここで、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x = e^3$ を利用します。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{x} \right]^2 = (e^3)^2 = e^6$

3. 最終的な答え

$e^6$