2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ が定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

## (1)の問題

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ が定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1$

したがって、頂点は $(1, -1)$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 2$ 内における関数の増減を調べます。

$x = 1$ は定義域内にあり、このとき最小値 $y = -1$ をとります。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1-1)^2 - 1 = 2(-2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2-1)^2 - 1 = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

定義域の端点では、$x = -1$ で $y=7$、$x = 2$ で $y=1$ であるので、最大値は $7$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 7

最小値: -1

## (2)の問題

1. 問題の内容

$x + 2y = 1$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値と、その時の $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+2y = 1$ から $y$ を $x$ で表します。

$2y = 1 - x$

$y = \frac{1-x}{2}$

これを $x^2 + y^2$ に代入します。

$x^2 + y^2 = x^2 + (\frac{1-x}{2})^2 = x^2 + \frac{1 - 2x + x^2}{4} = \frac{4x^2 + 1 - 2x + x^2}{4} = \frac{5x^2 - 2x + 1}{4}$

次に、$\frac{5x^2 - 2x + 1}{4}$ を最小にする $x$ の値を求めます。

$f(x) = \frac{5x^2 - 2x + 1}{4}$ とおくと、これを平方完成します。

$f(x) = \frac{5(x^2 - \frac{2}{5}x) + 1}{4} = \frac{5(x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{25} - \frac{1}{25}) + 1}{4} = \frac{5(x - \frac{1}{5})^2 - \frac{1}{5} + 1}{4} = \frac{5(x - \frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}}{4} = \frac{5}{4}(x-\frac{1}{5})^2 + \frac{1}{5}$

これは $x = \frac{1}{5}$ のとき最小値 $\frac{1}{5}$ をとります。

このときの $x$ の値は $\frac{1}{5}$ です。

3. 最終的な答え

最小値: $\frac{1}{5}$

$x$ の値: $\frac{1}{5}$