2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + a + 1$ のグラフの頂点が直線 $y = 3x - 11$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + a + 1$ のグラフの頂点が直線 $y = 3x - 11$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax + a + 1$

$y = 2(x^2 - 2ax) + a + 1$

$y = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + a + 1$

$y = 2(x - a)^2 - 2a^2 + a + 1$

したがって、頂点の座標は $(a, -2a^2 + a + 1)$ である。

ステップ2: 頂点が直線 $y = 3x - 11$ 上にあるという条件を式で表す。

頂点の $y$ 座標は $y = 3x - 11$ を満たすので、

$-2a^2 + a + 1 = 3a - 11$

ステップ3: $a$ についての2次方程式を解く。

$-2a^2 + a + 1 = 3a - 11$

$2a^2 + 2a - 12 = 0$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a + 3)(a - 2) = 0$

$a = -3$ または $a = 2$

3. 最終的な答え

$a = -3$ または $a = 2$