与えられた等式を導く問題です。 $${_nC_0 + 2 {_nC_1} + 2^2 {_nC_2} + ... + 2^n {_nC_n} = 3^n}$$

1. 問題の内容

与えられた等式を導く問題です。

$${_nC_0 + 2 {_nC_1} + 2^2 {_nC_2} + ... + 2^n {_nC_n} = 3^n}$$

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理とは、$n$ を自然数として、任意の $a, b$ に対して成り立つ次の等式のことです。

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {_nC_k a^{n-k}b^k} = {_nC_0 a^n} + {_nC_1 a^{n-1}b} + {_nC_2 a^{n-2}b^2} + ... + {_nC_n b^n}$$

この二項定理において、$a = 1, b = 2$ を代入すると、

$$(1+2)^n = \sum_{k=0}^n {_nC_k 1^{n-k}2^k} = \sum_{k=0}^n {_nC_k 2^k}$$

$$3^n = {_nC_0 2^0} + {_nC_1 2^1} + {_nC_2 2^2} + ... + {_nC_n 2^n}$$

$$3^n = {_nC_0} + 2 {_nC_1} + 2^2 {_nC_2} + ... + 2^n {_nC_n}$$

3. 最終的な答え

$${_nC_0 + 2 {_nC_1} + 2^2 {_nC_2} + ... + 2^n {_nC_n} = 3^n}$$