与えられた正弦波の式に基づいて、以下の3つの問いに答える。 (1) 波の速さ $v$ を求める。 (2) 座標 $x$ の点の、時刻 $t$ における変位 $y$ を表す式を選ぶ。 (3) 座標 $x=1.0$ [m] の点の、時刻 $t=1.0$ [s] における変位 $y$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた正弦波の式に基づいて、以下の3つの問いに答える。

(1) 波の速さ $v$ を求める。

(2) 座標 $x$ の点の、時刻 $t$ における変位 $y$ を表す式を選ぶ。

(3) 座標 $x=1.0$ [m] の点の、時刻 $t=1.0$ [s] における変位 $y$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 波の速さ $v$ を求める。

原点における変位の式は $y = 0.20 \sin \frac{2\pi}{3.0} t$ である。

これは $y = A \sin \omega t$ の形をしており、$\omega = \frac{2\pi}{3.0}$ である。

$\omega = 2\pi f$ より、角振動数 $\omega$ と振動数 $f$ の関係は $f = \frac{\omega}{2\pi}$ である。

したがって、$f = \frac{1}{3.0}$ [Hz] である。

波長 $\lambda = 6.0$ [m] であるから、波の速さ $v$ は $v = f\lambda$ で求められる。

$v = \frac{1}{3.0} \times 6.0 = 2.0$ [m/s] である。

(2) 座標 $x$ の点の、時刻 $t$ における変位 $y$ を表す式を選ぶ。

原点における変位の式は $y = 0.20 \sin \frac{2\pi}{3.0} t$ である。

正の方向に進む波なので、$t$ を $t - \frac{x}{v}$ で置き換える。

$y = 0.20 \sin \frac{2\pi}{3.0} (t - \frac{x}{v})$

$v = 2.0$ [m/s] より、

$y = 0.20 \sin \frac{2\pi}{3.0} (t - \frac{x}{2.0}) = 0.20 \sin 2\pi (\frac{t}{3.0} - \frac{x}{6.0})$

よって、③ が正解。

(3) 座標 $x=1.0$ [m] の点の、時刻 $t=1.0$ [s] における変位 $y$ を求める。

(2)で求めた式に、$x=1.0$ [m]、$t=1.0$ [s] を代入する。

$y = 0.20 \sin 2\pi (\frac{1.0}{3.0} - \frac{1.0}{6.0}) = 0.20 \sin 2\pi (\frac{2}{6} - \frac{1}{6}) = 0.20 \sin 2\pi (\frac{1}{6}) = 0.20 \sin \frac{\pi}{3}$

$y = 0.20 \sin 60^\circ = 0.20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.20 \times \frac{1.73}{2} = 0.20 \times 0.865 = 0.173$

最も近い値は 0.17 である。

3. 最終的な答え

(1) 波の速さ $v$: 2.0 [m/s] (②)

(2) 座標 $x$ の点の、時刻 $t$ における変位 $y$ を表す式: ③

(3) 座標 $x=1.0$ [m] の点の、時刻 $t=1.0$ [s] における変位 $y$: 0.17 [m] (③)